계단 오르기 알고리즘

https://www.acmicpc.net/problem/2579 [ACMICPC]

http://mystes.net/it/algorithm/run-away-sequence-alogrithm/ [유사 문제]

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다이나믹 프로그래밍

Baekjoon #2579 | 백준 2579

 

문제

계단 오르기 게임은 계단 아래 시작점부터 계단 꼭대기에 위치한 도착점까지 가는 게임이다. <그림 1>과 같이 각각의 계단에는 일정한 점수가 쓰여 있는데 계단을 밟으면 그 계단에 쓰여 있는 점수를 얻게 된다.

예를 들어 <그림 2>와 같이 시작점에서부터 첫 번째, 두 번째, 네 번째, 여섯 번째, 계단을 밟아 도착점에 도달하면 총 점수는 10 + 20 + 25 + 20 = 75점이 된다.

계단 오르는 데는 다음과 같은 규칙이 있다.

1. 계단은 한 번에 한 계단씩 또는 두 계단씩 오를 수 있다. 즉, 한 계단을 밟으면서 이어서 다음 계단이나, 다음 다음 계단으로 오를 수 있다.
2. 연속된 세 개의 계단을 모두 밟아서는 안된다. 단, 시작점은 계단에 포함되지 않는다.
3. 마지막 도착 계단은 반드시 밟아야 한다.

따라서 첫 번째 계단을 밟고 이어 두 번째 계단이나, 세 번째 계단으로 오를 수 있다. 하지만, 첫 번째 계단을 밟고 이어 네 번째 계단으로 올라가거나, 첫 번째, 두 번째, 세번째 계단을 연속해서 모두 밟을 수는 없다.

각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어질 때 이 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최대값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

입력의 첫째 줄에 계단의 개수가 주어진다.

둘째 줄부터 한 줄에 하나씩 제일 아래에 놓인 계단부터 순서대로 각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어진다. 계단의 개수는 300이하의 자연수이고, 계단에 쓰여 있는 점수는 10,000이하의 자연수이다.

출력

첫째 줄에 계단 오르기 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최대값을 출력한다.

예제 입력

1 2 3 4 5 6 7

6 10 20 15 25 10 20

예제 출력

1

75

 

A.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

n = int(input())   stair = list()   for i in range (n):     num = int(input())     stair.append(num)   DP = [0] * (n) DP[0] = stair[0] DP[1] = stair[0] + stair[1]         DP[2] = max(stair[0] + stair[2], stair[1] + stair[2])   for i in range (3, n):     DP[i] = max(stair[i] + DP[i-2], stair[i] + stair[i-1] + DP[i-3])       print(DP[-1])

저번과 마찬가지로 연습 겸 파이썬을..

전형적인 동적 계획법 문제이다.

계단이 다음과 같이 있다고 가정하자. 괄호는 계단에서 얻을 수 있는 점수이다.

S(0)->p1(10)->p2(100)->p3(30)->p4(400)->E(50)

 

DP를 각 계단에서 오를 수 있는 최대 값이라 생각하고, 먼저 p1으로 가는 경우를 살펴보자.

1. S->p1

위 한가지가 존재한다. 따라서 별 다른 경우가 없으므로 DP[1] = 0+10인 10이다.

다음으로 p2를 가는 경우를 살펴보자.

1. S->p1->p2
2. S->p2

1번의 경우 10에 목표(p2) 계단 점수인 100을 더한 것이고, 2번은 그냥 목표 계단의 점수 100이다.

따라서 DP[2] = 110이 된다. 당연히 더한게 더 크니까..

 

이제 p3로 가는 경우를 살펴보자. 위에 까지 구한 모든 경로에 p3만 추가하면 된다.

1. S->p1->p3
2. S->p1->p2->p3 (계단이 연속되므로 안됨)
3. S->p2->p3

따라서 DP[3]은 1번과 3번 중 골라야 하는데 각각의 값은 40(1번)과 130(3번)이다. 따라서 DP[3]은 130이 된다.

3번과 마찬가지로 각 경우에 p4를 추가해보자.

1. S->p1->p4 (계단을 3칸이나 올라갔다)
2. S->p1->p2->p4
3. S->p2->p4
4. S->p1->p3->p4
5. S->p2->p3->p4 (계단이 연속되었다)

여기까지를 살펴보면 공통되는 부분이 보인다. 당연히 기존 구한 것들에 p4만 추가한 것이라..

먼저 2번은 D[2]에 p4의 값을 더한 것이다. 따라서 그 값은 510이 된다.

3번은 p4에 p2계단의 점수를 더한 것으로 500이 된다.

4번은 위 D[3] 후보에서 탈락한 40과 p4의 합이다. 440

따라서 최종 D[4]는 510이 된다.

 

마지막으로 종료 지점까지를 탐색해보자. 이제 계단을 3칸 올라가는 것은 자연스럽게 제외한다. 따라서 p3 부터 경우의 수에 E를 추가한 것이다.

1. S->p1->p3->E
2. S->p2->p3->E
3. S->p1->p2->p4->E
4. S->p2->p4->E (3번과 유사. 오히려 p1이 빠짐)
5. S->p1->p3->p4->E (계단이 연속됨)

계단이 연속되는 5번을 제외하고 총 3가지 경우가 존재한다. 위 과정에서 3번과 4번을 비교한다면 당연히 3이 크다. 3번은 4번에 p1값이 추가된 것이기 때문이다.

따라서 4번은 제외하고 작성한다.

기존의 DP는 아래와 같았다. 이를 DP를 활용하여 다시 나열해보면 아래와 같다.

DP	경로	값
DP[1]	S->p1	10
DP[2]	S->p1->p2	110
DP[3]	S->p2->p3	130
DP[4]	S->p1->p2->p4	510

1. DP[1]->p3->E [ 10+30+E ]
2. DP[3]->E [ 130+E ]
3. DP[2]->p4->E [ 510+E ]

DP는 지금까지 최고 값을 구해왔다. 여기서 1번은 DP[2]와 DP[3]에 비해 당연히 최적의 수를 제공하진 않을 것이다. 어차피 p3가 아무르 큰 값이라 해도 DP[3]에 이미 p3가 포함되어 있다.

따라서 1번은 제외하고 2번과 3번으로 점화식을 구해본다. 참고로 E는 p5이다.

DP[5] = P[5] + DP[3]
DP[5] = P[5] + P[4] + DP[2]

DP[n] = MAX(P[n] + DP[n-2],  P[n] + P[n-1] + DP[n-3])